교육학 유추를 통한 수학탐구 삼각형과 사면체의 유추
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유추를 통한 수학탐구
(삼각형과 사면체의 유추)
삼각형과 사면체의 유추
성질 1.
1a. 삼각형 ABC`의 변들에 대해 다음 부등식이 성립한다.
AB+AC`>BC``
2b. 사면체 ABCD`의 모서리들에 대해 다음 부등식이 성립한다.
AB+AC+AD> {1} over {2} (DB+BC+CD)
(단, AB`,``AC`,``AD`는 한 꼭지점을 공유 하는 모서리들임.)
성질 2.
2a. 삼각형의 내부점으로부터 각 꼭지점에 이르는 거리의 합은 삼각형 둘레의 {1} over {2} `보다 크다.
2b. 사면체의 내부점으로부터 각 꼭지점에 이르는 거리의 합은 사면체 둘레의 {1} over {3} `보다 크다.
성질 3.
3a. 삼각형의 임의의 내부점에 대해 다음 등식이 성립한다.
aK _{a} +bK _{b} +cK _{c} `=2S`
(단, K _{a} ``,```K _{b} ``,```K_c`는 내부점에서 길이가 a`,``b`,``c`인 변까지의 거리, S`는 삼각형의 넓이임.)
3b. 사면체의 임의의 내부점에 대해 다음 등식이 성립한다.
aK _{a} +bK _{b} +cK _{c} +dK _{d} `=3V`
(단, K _{a} ``,```K _{b} ``,```K_c``,```K_d `는 내부점에서 넓이가 a`,``b`,``c`,``d``인 면까지의 거리, V`는 사면체의 부피임.)
성질 4.
4a. 삼각형의 임의의 내부점으로부터 각 변까지 거리의 합은 삼각형의 최소높이 이상이고 최대높이 이하이다.
h _{min} LEQ K _{a} +K _{b} +K _{c} ` LEQ h _{max}
4b. 사면체의 임의의 내부점으로부터 각 면까지 거리의 합은 사면체의 최소높이 이상이고 최대높이 이하이다.
h _{min} LEQ K _{a} +K _{b} +K _{c} +K _{d} ` LEQ h _{max}
성질 5.
5a. 삼각형에서 내접원의 반지름을 r`, 최대높이와 최소높이를 각각 h _{max} `, h _{min} `이라 하면, 다음 부등식이 성립한다.
h _{min} LEQ 3r` LEQ h _{max}
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