[수학교육] 역사-발생적원리와 학습과정안

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2004.11.10 / 2019.12.24
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목차: 제 4 장. 역사-발생적 원리
1. 수학의 역사적 발생과 학교수학의 연역적 전개

2. 역사 발생적 원리의 대두와 발견
⑴ Euclid의 종합적, 연역적 방법에 대한 비판으로 등장하였다.
⑵ Arnauld와 Clairaut의 발생적 원리에 입갑한 기하교과서 제작으로 체계화되었다.
⑶ Lindner의 발생적 원리
⑷ Mager의 발생적 원리
⑸ Klein의 발생적 원리
⑹ 수학교육에서 발생적 원리의 잠정적 종말
⑺ 발생적 원리의 재출현
⑺ 발생적 원리의 재출현
⑼ Polya의 발견술
⑽ Lakatos

3. 역사-발생적 원리에 따른 교재구성
1) 삼각형의 내각의 합
2) 로그 개념
3)정적분의 개념

4. 형식불역의 원리
1. 대수의 탈산술화: 형식불역의 원리
2. 기호적 대수의 완성
3. 형식불역의 원리
4. 수 개념의 확장

수학 체험 교수 학습 과정안

본문내용: 제 4 장. 역사-발생적 원리

* 발생적 원리
- 수학을 공리적으로 전개된 완성된 것으로 ‘가르치는’ 그러한 형식주의의 결함을 극복하기 위하여 제기되어 온 교수학적 원리
- 발달의 개념을 수학교육학의 중심에 놓고 수학의 학습-지도의 문제를 발달에 대한 어떤 해석에 따 라 구성하려는 것
⇒ 수학을 ‘발생된 것’으로 파악하고 그 ‘발생’을 학습과정에서 재성취하려는 것
- Klein, Poincaré, Toeplitz, Krygowska, Freudenthal, Polya, Brousseau 등
: 수학은 완성된 산품으로서가 아니라 수학화의 과정으로서만 바르게 이해되고 학습될 수 있다
- 수학적, 인식론적, 심리학적, 교육학적 관점에서 현대 수학교육 이론의 대부분의 주장과 조화되며, 수학적 구조의 발생도 학습자의 인지구조의 발생도 적절히 고려되고 있는 학습-지도 원리.
⇒ 수학교육은 발생적 방법에 따라 조직되어야 한다.
역사-발생적 원리 : 수학은 완성된 산물인 논리적 지식체계가 아니라, 수학의 역사적
발달과정을 단축된 형태의 가상적인 과정으로 재구성하여 학생들이
수학화과정을 재발명할 수 있도록 하려는 교재구성의 원리

1. 수학의 역사적 발생과 학교수학의 연역적 전개

* 수학의 역사
- 산술, 대수 및 기하의 초보 : 기원전 3000년경부터 300년경까지 이집트와 바빌로니아 사람들
← 순전히 경험을 근거로 하여 등장
- 연역적인 수학의 창안 : 기원전 600년경부터 300년경까지의 그리스 문화의 산물
- 무리수가 수로 사용되기 시작 : 알렉산드리아 시대(고대 그리스 문화 + 경험을 중시한 인도 아라비 아 문화) ← 유용성과 친숙함
- 음수 : 도입(기원 후 600년경 인도인), 그러나 직관적인 뒷받침이 결여되었다는 이유로 천 년 동안 수학자들에게 수용되지 못함
- 복소수 : 1540년경에 3차방정식의 풀이과정에서 등장, 자유롭게 사용되기까지 200여 년이 소요
- 수학에서 미지수를 나타내는 문자의 사용 : 고대 그리스 시대 → 임의의 수를 나타내는 , 와 같은 변수 문자의 도입은 16세기 후반 Vieta
- 미적분 : 창시자인 Newton과 Leibniz도 모호하고 불명확한 직관적인 기초 위에서도 연구를 계속하 여 적절한 연역적 구조가 창안되기 전에 풍부한 결실을 맺었다.
⇒ 수학의 주요한 분야가 생겨난 수세기 동안 대부분 그에 대한 논리적 전개는 이루어지지 않았으 며, 수체계, 대수학, 해석학의 논리적인 기초는 19세기 후반까지 확립되지 않았다. 직관적인 의 미를 갖는 자연수, 분수, 도형 등의 개념은 수용되었으나 덜 직관적인 무리수, 음수, 복소수, 문 자 변수, 미적분의 기본개념 등은 창안되거나 수용되는 데 몇 세기가 걸렸다. 수학자들이 그러한 개념들을 수용하게 한 것은 논리가 아니라 유추, 물리학적인 의미, 바른 과학적 결과의 획득 등 에 의한 논거, 곧 직관적인 증거이었다.

* 학교수학의 연역적 접근을 반대하는 논거
- 역사발생적 원리(Poincaré, Klein 등) : 수학의 역사적 발달의 과정을 따라 소박하고 직관적인 상태 에서 점진적인 형식화 단계를 거쳐 마지막에 연역적인 형식체계에 이르도록 지도하는 것이 자연스 럽고 과학적인 지도방법이라고 주장.
⇒ 위대한 수학자들이 수학의 각 분야의 논리적 기초를 세우는 데 수세기 동안 실패하였다는 사실 은 올바른 논리적 접근이 이해하기 쉽지 않다는 증거가 된다.
⇒ Euclid 기하의 직관적 의미는 학생들에게 분명하지만 그 연역적 전개를 이해하기가 쉽지 않다 면, 이러한 역사적 사실은 중학교 수학에서 논증기하의 교

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