귀납 추론과 유추
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귀납추론과 유추
제 1 절 귀납추론의 의미와 역할
1. 귀납추론의 의미
· 귀납추론, 유추 등에 의한 수학적 추측이 제시되고, 제시된 수학적 추측 중에서 참인 것으로 증명된 것이 형식적인 수학으로 완성된다고 하였고,
이러한 맥락에서 폴리아는 귀납과 유추에 의한 발견적 사고와 수학적 추측을 강조하였다.
· 귀납적 추론이란 관찰, 실험, 측정, 구체적 조작 등을 통하여 몇 가지 사례에 대해 어떤 명제가 참임을 보인 다음에, 이 사례들이 속한 전체 범주의 대상들에 대해 그 명제가 참임을 주장하는 것이다.
그림의 [가]에서와 같이 직각삼각형 [1], [2], [3] 각각에 대해 세 변에 각 변을 한 변으로 하는 정사각형 P, Q, R의 넓이를 관찰하였더니 3개의 직각삼각형 [1], [2], [3] 모두에서 ‘(P의 넓이) + (Q의 넓이) = (R의 넓이)’가 성립한다.
즉, ‘빗변에 세운 정사각형의 넓이는 다른 두 변에 세운 정사각형의 넓이의 합과 같다’는 성질이 성립한다는 것을 관찰 할 수 있다.
관찰 결과를 토대로 얻어지는 명제는 ‘직각삼각형의 세 변에 정사각형을 세울 때, 빗변에 세운 정사각형의 넓이는 다른 두 변에 세운 정사각형의 넓이의 합과 같다’가 된다. 이러한 명제는 그림의 [나]와 같이 일반적인 직각삼각형에 대해 ‘직각삼각형의 각 변의 길이를 a, b, c라고 하고 c를 빗변의 길이라고 했을 때 c² = a² + b²이다’라는 식으로 표현 가능하다.
2. 귀납추론의 예
귀납 추론에 의해 주장된 명제는 수학적 추측이라고 할 수 있다. 이와 같은 추측은 증명을 통해 참인 명제가 됨으로써 수학적 정리가 된다.
앞의 추측은 사진과 같이 증명됨으로써, ‘피타고라스의 정리’라는 수학적 원리로 완성된다.
<피타고라스 증명> - 유클리드의 증명
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