분수의 곱셈 나눗셈 오류 유형과 원인 분석하기

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2016.04.16 / 2016.04.16
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본문내용: 초등수학교육론 보고서
분수의 곱셈 나눗셈 오류 유형과 원인 분석하기
Ⅰ. 이론적 배경
(1) 분수의 개념
분수는 개념 구조가 복잡하여 단일 개념으로 설명하기 어렵다. 여러 연구자들이 분수를 몇 가지 하위 개념으로 나누고 있는데, 그 가운데 가장 널리 받아들여지고 있는 것은Kieren(1995)의 해석이다. 그는 분수 개념 각각에 대한 이해와 함께 이들이 서로 어떻게 관련이 되는지 이해해야만 분수의 개념이 본질적으로 형성된다고 보며 분수개념을 측정(measure subcontract), 나눗셈의 몫(quotient subcontract), 비(ratio), 연산자(operator) 등으로 설명한다. 측정 개념은 한 영역을 분할하고 그 부분을 측정하는 것과 관련된다. 몫 구조는 ax=b (a, b : 정수, a≠0)에서 x의 값인 나눗셈의 몫으로서의 분수사용을 뜻한다. 비는 두 양 사이의 상대적인 관계를 나타내는 상황에서 이용된다. 연산자는 하나의 대상을 다른 대상으로 변화시키는 사상(mapping)의 역할을 한다. 그러나 우리나라 초등학교수학에서분수라는 용어는 동등하게 분할하는 활동으로서의 조작분수, 추상적인수로서의 양의분수, 몫으로서의 분수, 그리고 비율로서의 분수, 연산자의미의 분수로 사용되고 있다.
(2) 분수의 곱셈과 나눗셈
자연수의 덧셈과 뺄셈은 직접적으로 덧셈적 관계를 나타내며, 세기 경험과 직접 관련이 딘다. 그러나 같은 수가 곱셈이나 나눗셈 상황에서 나타날 때 모델링은 훨씬 더 어렵다. 따라서 분수의 곱셈, 나눗셈을 개념화하기 위해서는 실생활 상황에서 설정된 분수의 곱셈, 나눗셈 이해에 필요한 기초를 제공하는 활동을 통해 연산의 의미를 이해하게 하는 것이 필요하다.
분수의 곱셈은 부분의 부분을 찾는 것이다. {2} over {3}의 {4} over {5}를 찾는 과정은 {4} over {5}가 전체의 부분을 나타내는 것이 아니라 오히려 전체의 {2} over {3}에 대한 작용을 나타낸다. 예를 들어, 작용의 결과가 전체 넓이의 얼마인지 답하기 위해서, 학생들은 칠해진 넓이가 어떻게 분할될 수 있는지, 그러한 분할이 어떻게 전체를 덮는지 결정해야 하고 칠해진 부분은 다시 분할되고 이것은 전체에 대한 부분으로 확장해야 한다.
분수의 곱셈에서 승수에 따른 변화를 이해하는 것은 중요하다. 자연수의 곱셈에서 정해진 수들은 덧셈에서보다 그 결과가 커진다. 곧 승수의 역할은 피승수를 확대하는 것으로 간주된다. 그러나 분수의 곱셈에서 진분수로 곱하면 이는 오히려 축소의 결과를 가져온다. 자연수의 경우로 생각하여 그 결과가 커져야 한다고 생각하는 학생들에게 일련의 과정을 거치면서 패턴을 찾아보게 하는 것을 매우 유용하다.
Armstrong & Bezuk(1995)는 제수가 자연수일 때는 등분제를 이해하는 것이 어렵지 않지만, 제수가 분수일 때는 나눗셈 상황을 이해하는 것이 매우 어렵다고 한다. 분수 나눗셈은 보통 몫으로 개념화된다. 즉 {1} over {2}÷{1} over {8}은 {1} over {2}에 {1} over {8}이 몇 번 들어가는가 하는 문제는 아주 쉽게 모델화될 수 있지만 {1} over {2}÷{2} over {3}인 경우의 모델링은 어렵다. 따라서 학생들이 분배 상황에서 그 수가 의미하는 것을 이해하게 하는 것이 중요하다. 일단 분수 나눗셈에 대한 의미를 이해한 후 역수를 취하여 곱하는 알고리즘이 다루어지면, 나눗셈이 곱셈으로 바뀌면 나누는데 결과가 더 커진다는 사실을 좀 더 쉽게 이해한다.
(3)분수수업의 문제점
류희찬, 신준식(1995)은 우리나라 초등학교 분수 수업의 문제점으로 첫째 분수가 왜 필요한가, 어느 경우에 쓰이는가 등의 분수의 필요성을 쉽게 깨달을 수 없다고 하고 있다. 자연수를 배우다 갑자기 전체를 몇으로 나눈 것 중에서 몇으로 쓰는 것을 왜 학습해야 하는 가를 느끼지 못하면서 학습하고 있다는 것이다. 둘째, 전체를 똑같이 몇으로 나눈 것 중에서 몇이라는 등분할 상태를 나타내는 방법으로 분수를 처음 도입하여 학생들이 ‘분수는 전체를 똑같이 몇으로 나눈 것 중에서 몇’이라는 제한된 생각을 가지게 된다고 보고 있다.
김옥경(1997)은 우리나라 초등학교 분수 수업의 문제점을 다음과 같이 지적하였다.
첫째, 학생 스스로 지식을 구성하고 그 지식의 타당성을 인식하게 하기보다는 이미 정해진 알고리즘이나 절차를 일방적으로 제시한다. 따라서 학생들은 이해보다 암기를 하게 되고, 결국 이러한 지식은 시험이 끝나면 잊어버리게 된다.

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