피타고라스의 수학
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기원전 7세기 그리스는 오늘날의 그리스, 터키, 지중해의 수많은 섬을 망라하는 넓은 지역에 걸친 독립된 도시국가의 모임이었다. 그리스 상선은 바다를 항해하였고 바다는 이들을 이집트, 페니키아, 바빌로니아 문명과 접촉할 수 있게 하였다. 이는 그리스의 번영과 이집트 기하, 바빌로니아 대수와 상업산술 같은 문화 유입을 가져왔다. 게다가 번영하는 그리스 사회는 충분한 부를 축적하여 유한계급, 지식인, 예술가들이 수학 자체를 위하여 충분히 시간을 가지고 수학을 연구하도록 지원하였다. 그러한 여건에서 현대 수학이 탄생했다는 것이 놀라움으로 다가온다.
2. 그리스 수학의 특징
그리스의 수학은 현대수학의 기초를 다져놓았는데, 이 중 두 가지 주요한 특징은 첫째, 수학적인 ‘진리’는 반드시 증명되어야 한다는 것과, 둘째, 수학에는 구조가 있다는 것이다.
이러한 그리스 수학의 기초를 놓은 사람은 기원전 600년경을 장식한 철학자 탈레스였다. 그는 의심과 비평의 아이디어를 그리스 철학에 최초로 소개한 사람이라 말할 수 있다. 회의론과 비평은 그리스인을 그 이전 문명과 구별하는 개념이다. 탈레스는 수학적 진리는 증명되어야 한다고 주장하였다. 또한, 그 진리는 그 이전 진리를 따르는 것이어야 한다고 주장하였다.
3. 피타고라스학파의 특징
탈레스의 뒤를 잇는 그리스 수학의 위대한 영웅은 피타고라스이다. 피타고라스 정리로 이름이 전해지는 그는 사모스 섬에서 왔으며 탈레스 밑에서 공부한 것으로 추정된다. 피타고라스 정리의 연대는 대략 기원점 540년쯤이다. 그는 인도의 석가모니, 중국의 노자, 페르시아의 조로아스터 시기에 살았다. 피타고라스와 추종자들은 이탈리아 반도에 있는 그리스 식민지 크로톤에 정착했다. 피타고라스 형제단은 학파를 이루었으며 풍부한 기하학적 관계가 있는 오각형을 그 상징으로 하였다.
아마 그의 스승을 모방하여 피타고라스는 초기의 많은 수학자들처럼 수학자이자 철학자였다. 소크라테스 이전 시기의 일원론적 전통에는 그는 “만물은 수”라고 가르쳤다. 이것은 주파수, 파장, 속력 현대 과학의 원자수를 예견한 것은 아니며, 오히려 수를 사랑, 성별, 미움 등을 나타내는 것으로 생각한 고대 사회의 공통적인 신비스런 믿음에 근거한 것이었다.
홀수는 남성, 짝수는 여성을 나타냈다. 수1은 전능한 존재이며 모든 수를 발생시킨다. 수2는 최초의 여성수이며 다양성을 나타낸다. 수 3 = 1+2은 다양성과 통합으로 구성된 최초의 남성수이다. 수 4 = 2+2는 균형이 잘 이루어졌으므로 정의의 수이다. 수 5 = 2+3은 여성과 남성의 결합이므로 결혼을 뜻한다. 고대의 기본 원소, 지구, 공기, 물, 불은 면의 수가 다른 기하입체인 육면체, 팔면체, 이십면체, 피라미드로 구성되었다고 피타고라스는 믿었다.
4. 충분수, 결핍수, 완전수
피타고라스는 다른 수들은 상대적으로 약수가 많은 수를 관찰하는 것부터 시작하였다. 예를 들어 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6이다.(그는 자신을 자신의 약수로 생각하지 않았다. 즉 진약수만 생각하였다.) 한편 10의 진약수는 1, 2, 5이다. 그래서 피타고라스는 약수의 합을 비교하기로 하였다. 합이 그 수를 넘으면 충분수, 그 수보다 작으면 결핍수라 불렀다. 1+2+3+4+6 = 16이고 이는 12보다 크므로 12는 충분수이다. 1+2+5 = 8이고 이는 10보다 작으므로 10은 결핍수이다.
6, 28 같이 진약수의 합이 자신과 같은 경우는 어떻게 하는가? (6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14) 이들을 완전수라 불렀고 지금도 그렇게 부른다. 유클리드 <원론> 제 13권에 피타고라스에게 전해진 것으로 보이는, 완전수 찾는 방법이 나온다. -발표자료에 포함
예제1. 다음의 수가 결핍수, 충분수, 완전수 중 어느 것인지 결정하라.
1. 15 2. 18 3. 24
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