[교육학] 수학과 교재분석 및 지도법-GSP를 활용한 외심의 지도
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- 목차
-
Ⅰ.단원명
Ⅱ. 단원 설정의 이유
Ⅲ. 단원지도 내용
Ⅳ. 본시 학습지도안
-참고자료-
[활동지-3]
[형성평가지]
[전시학습복습 ppt자료]
[문제풀이용 ppt] - 활동지3
-참고문헌-
- 본문내용
-
- 활동지1를 배부한다.
- 개인의 컴퓨터 바탕화면에 저장해둔 (예각삼각형이 작도된) GSP파일을 열도록 하고, 이 삼각형의 세변의 수직이등분선을 작도하여, 세 수직이등분선이 한 점에서 만나는 것을 스스로 확인해보도록 하고, 순회지도를 하며 작도를 어려워하는 학생들을 돕는다.
- 5분의 개인활동시간을 제공한 후, 확인한 학생들의 수를 체크하고, 교사가 다시 한 번 작도하는 것을 보여준다.
- 이렇게 확인된 사실(‘삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.’)을 증명하여 수학적으로 명료화하기로 한다.
- 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다는 것을 증명하기 위해서는 어떤 방법을 사용해야 할 것인지를 이전 시간에 했던 ‘삼각형의 세 내각의 이등분선이 한 점에서 만난다.’를 증명했던 방법에서 찾아보자고 제안한다.
- 학생들이 기억하는 방법을 토대로 이번 증명은 어떻게 진행해야할지 발문한다.
- 교점에서 나머지 한 변에 아무렇게나 선을 그으면 수직이등분선이 될지를 발문하고 그림을 보면서 생각해보기로 한다.
- 화면에서 GSP를 통해 예각삼각형을 작도하고, 두 변의 수직이등분선을 작도하여 그 교점을 표시한 후, 교점과 두 변을 연결하는 선분을 제외한 나머지 선들을 숨겨, 그림을 간단히 한다.
- 점O에서 변 BC로 선분을 아무렇게나 그어도 선분이 변 BC의 수직이등분선이 될지 발문한다.
- 학생들의 의견대로 점O에서 변 BC로 수선을 내리고 점O로부터 각 꼭지점에 이르는 선분을 작도한다.
- ‘변 AB와 변 AC의 수직이등분선이 한 점에서 만날 때’ 라는 가정을 이용하여 작도한 그림에 가정의 내용을 표시한다.
- 점O에서 변 BC로 그은 수선이 변 BC를 이등분한다는 것을 그림에서 보고 쉽게 설명해보도록 한다.
- 선분 BF와 선분 CF의 길이가 같음을 보이려면 어떤 조건이 충족되어야 하는지 발문한다.
- 그럼, - 와 - 가 합동임을 보이기 위해 충족되어야할 조건은 무엇인지 발문한다.
- 변 OB와 변 OC의 길이가 같은지를 우선 살펴보기로 한다.
- 학생들과 함께 그림을 살펴보며, - 와 - 가 SAS합동이고, - 와 - 가 SAS합동이므로, 선분 OA와 선분 OB의 길이가 같고, 선분 OA와 선분 OC의 길이가 같아, 선분 OB와 선분 OC의 길이가 같음을 확인한다. 그러므로 ‘삼각형의 두 변의 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 수선을 그으면 그 수선이 나머지 변을 이등분함을 증명할 수 있음을 확인시킨다.
- 이러한 과정을 이제 가정에서 시작해서 결론으로 끝나는 증명으로 작성해보기로 한다.
-
- 이렇게 살펴본 ‘삼각형의 세변의 수직이등분선의 교점’이 무엇을 의미하는지 살펴보기로 하고, GSP를 통해 위에서 작도한 교점을 중심으로 하고 점 C를 지나는 원을 작도해본다.
- 이 원이 나머지 두 점 역시 지나는 것을 확인한 후, 삼각형에서 세 변의 수직이등분선의 교점은 이 삼각형의 외접원의 중심이 되고, 그 교점의 이름을 외심이라고 한다고 설명한다.
- 또한 원의 중심으로부터 원 위의 점으로의 거리는 동일하기 때문에 외심으로부터 각 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같음을 설명한다.
- 활동지2를 나눠주고, 앞에서는 예각 삼각형의 외심만 작도해보았기 때문에, 직각삼각형과 둔각삼각형의 외심을 각자 GSP로 작도해 보도록 하고, 그 특징을 기록해보도록 한다.
- 5분의 시간을 준 후, 2명의 학생을 앞으로 이끌어, 한명은 직각삼각형, 다른 한명은 둔각삼각형의 자신이 작도한 것을 다시 작도하여 보여주도록 한 후, 그 특징을 설명하도록 한다.
- 이를 통해 학생들이 작도를 잘 하였는지 확인하고, 또 직각삼각형은 빗변의 중점에 외심이 위치하고, 둔각삼각형은 삼각형 밖에 외심이 위치한다는 특징을 설명한다.
-활동지3을 나눠주고, GSP로 예각
삼각형을 그려 두 문제를 해결해보고,
꼭짓점을 끌어봄으로써 이 성질이 계속
보존되는지 확인하도록 한다.
- 7분의 개별활동 시간을 준 후, 학생들에게 두 상황에서의 특징을 각각 질문한다. 그리고 그 이유에 대해서 간단히 확인한다.
- 첫 번째 문제에서는 외심과 세 꼭짓점 사이의 거리는 모두 같기 때문에 그림에 나뉘어 있는 세 삼각형은 모두 이등변삼각형이 되고, 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같기 때문에 그림과 같이 나타난다. 그러므로 - 는 삼각형의 내각의 합의 절반이 되므로 90°이다.
- 두 번째 문제 역시, 외심으로부터 세 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같다는 성질을- 이용하는데,
점A와 외심을 잇는 선분의 연장선과
변BC와의 교점을 D라고 두면,
외심과 세 꼭짓점 사이의 거리가 모두
같기 때문에 와 는
이등변삼각형이고, 이등변삼각형의 두
밑각이 크기는 같다. 한편, 삼각형의
외각의 크기는 다른 두 내각의 크기의
합과 같으므로 그림과 같이 나타나고,
그림에서 보이는 바와 같이 의
크기는 의 크기의 두 배이다.
- 활동지3의 뒷장의 문제를 각자 해결해보도록 하고, 함께 문제를 풀어본다.
- 활동지1의 설명을 따라 삼각형의 세변의 수직이등분선과 그 교점을 작도하여 세 수직이등분선이 한 점에서 만남을 스스로 확인한다.
- 교사의 작도를 살펴보면서 작도법과 삼각형의 세변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다는 사실을 다시 한 번 확인한다.
- 이전 시간의 증명을 생각해보며 두 내각의 이등분선을 먼저 작도하고 그 교점을 나머지 한 각에 연결하는 선분을 작도했을 때, 그 선분이 연결한 각의 이등분선이 됨을 보였음을 기억한다.
- 삼각형의 두 변의 수직이등분선의 교점을 작도하여 그 교점에서 나머지 한 변에 선을 연결했을 때, 그 선이 연결된 변의 수직이등분선이 됨을 보이자고 답한다.
- 점O에서 변 BC로 선분을 그을 때, 모든 경우의 선분이 변 BC의 수직이등분선이 되지는 않음을 생각하게 되고, 그럼 점 O에서 변 BC로 수선을 그었을 때, 그 수선이 변BC를 이등분하는지를 살펴보기로 한다.
- 선분 OF와 변 BC가 직교할 때, 선분 BF와 선분 CF의 길이가 같다는 것임을 대답한다.
- 와 - 가 합동임을 보여야 한다고 대답한다.
- 변 OF가 공통이고, - 와 - 가 직각으로 같기 때문에, 변 OB와 변 OC의 길이가 같거나, - 와 - 의 크기가 같으면 충족됨을 확인한다.
- 교사와 함께 OB와 OC의 길이가 같은지를 살펴본다.
- 증명을 살펴보면서 이 명제의 증명방법과 가정과 결론, 그리고 그 사이의 조건들의 관계를 잘 살펴본다.
- 삼각형의 외심이란 삼각형의 외접원의 중심을 의미하고, 때문에 외심으로부터 각 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같음을 이해한다.
- 개별적으로 직각삼각형과 둔각삼각형의 외심을 그려봄으로써 그 특징을 스스로 확인한다.
- 다른 학생이 작도하는 것과 설명하는 것을 살펴보고, 자신의 작도과정과 생각을 정리한다.
- GSP로 예각삼각형을 그리고 외심을 작도하여, 각을 측정하는 메뉴를 활용해 두 문제를 해결하고, 꼭짓점을 끌어가며 성질을 살펴본다.
- 두 가지 경우에서의 각의 특징을 확인하고, 그 이유를 확인한다.
- 외심의 성질을 활용하여 문제를 해결한다.
활동지1
학생들의 컴퓨터에 동일한 예각삼각형이 작도된 GSP파일을 저장해두었다. 예각삼각형을 제시한 것은 학생들에게 예각삼각형의 외심을 그리는 것이 가장 쉽게 여겨질 것이라 예각삼각형으로 도입하였고, 수학적 다양화를 위해 후에 직각삼각형과 둔각삼각형의 외심을 스스로 작도하여 확인하도록 할 것이다.
학생들이 GSP를 통해 세 변의 수직 이등분선이 한 점에서 만나는 것을 확인함으로써 이 명제를 발견의 맥락에서 살펴본 후, 수학적으로 증명해봄으로써 정당화의 맥락을 거치게 된다.
가정에서 시작해서 순차적으로 적어 결론에 도달하는 종합적 방법은 학생들이 어려워하므로, 결론에 도달하기 위한 조건으로부터 조건들을 거슬러 올라가는 분석적 방법으로 조건들을 살펴본 후, 종합적 방식의 증명을 도입한다.
SAS합동을 만족하기 위해 변 BF와 변 CF의 길이가 같으면 된다고 대답하는 학생들도 있을 것이다. 하지만 결론은 증명에 사용될 수 없음을 인지시킨다.
이때 화이트보드에 GSP 그림을 띄어놓고, 그 위에 보드마카로 표시하며 살펴본다. 증명 역시 그림을 확인하면서 그 옆에 보드마카로 기재하여 수업이 일관성 있게 진행되도록 한다.
활동지2
직각삼각형은 한 각이 정확히 직각을 이뤄야 하기 때문에 직교하는 두 선분을 먼저 작도한 후, 나머지 한 변을 이어 삼각형을 작도하도록 한다.
활동지3
ppt
ppt를 화이트보드에 띄우고 그 위에 표시를 하며 문제를 해결한다.
- 참고문헌
-
-참고문헌-
1. 한용현, 이보희(2009). Freudenthal의 수학화 학습-지도론에 따른 GSP의 활용방안: 수학 8-나 도형의 성질 중심으로. 숙명여자대학교 교육대학원 수학교육전공 석사학위논문.
2. 고은성, 이경화(2007). GSP 환경에서의 중학교 수학영재 학생들의 문제 해결 과정 분석: 시각적 추론과 논리적 추론을 중심으로. 영재교육연구. 제 17권, 제 3호. pp.521-539.
3. 손홍찬(2011). GSP를 활용한 역동적 기하 환경에서 기하적 성질의 추측. 대한수학교육학회지<학교수학>. 제 13권, 제 1호. pp.107-125.
4. 강윤수, 서은정(2009). 삼각형의 내·외심 지도방법 연구. 한국학교수학회논문집. 제 12권, 제 3호. pp171-188.
5. 김남희(2002). ‘문제해결’ 관점에서의 GSP활용. 대한수학교육학회지<학교수학>. 제 4권, 제 1호. pp111-125.
6. 권순걸, 김영선(2007). 종이접기와 GSP를 활용한 학습과정 탐구 (8-나 도형의 성질 단원을 중심으로). 순천대학교 교육대학원 수학교육전공 석사학위논문.
7. 강병개, 주은지(2010). 중학교 2학년 기하단원에서의 구체적 조작활동. 성신여자대학교 교육대학원 수학교육전공 석사학위논문.
8. 김남희, 나귀수, 박경미, 이경화, 정영옥, 홍진곤(2006). 예비교사와 현직교사를 위한 수학교육과정과 교재연구. 경문사.
9. 정상권, 이재학, 박혜숙, 홍진곤, 서혜숙, 박부성, 강은주(2009). 중학교 수학2. ㈜금성출판사
10. 정상권, 이재학, 박혜숙, 홍진곤, 서혜숙, 박부성, 강은주(2009). 중학교 수학익힘책2. ㈜금성출판사
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(2022.10.04 11:48:11)
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