[수학]비유클리드 기하학
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- 목차
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1. 비유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)의 전반적인 발달과정
2. 유클리드의 평행공준
3. 비유클리드 기하학의 역사적 배경
4. 쌍곡 기하학
5. 타원기하학
6. 유클리드기하학과 비유클리드 기하학의 비교
- 본문내용
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유클리드기하학에서는 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 만나지 않는 직선은 하나밖에 없다는 것을 가정하고 있다. 즉, 평행선은 아무리 연장하여도 만나지 않는다고 가정하고 있는데, 19세기에 들어와서 이 가정은 부정되었고 Jnos Bolyai(1802～1860), Nikolay Lobachevsky는 직선 밖의 한 점을 지나는 직선은 무한히 있다고 가정하여 이와 나머지 공리로부터 하나의 새로운 기하학을 세웠다. 다시 말하면, 평면상의 두 직선은 모두 만난다는 것이다. 즉, 직선 밖의 한 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선을 그을 수는 없다고 가정하여 다른 기하학을 만들 수가 있었다.
Christian F. Klein은 Karl F. Gauss와 Jnos Bolyai 및 Nikolay Lobachevsky의 기하학을 쌍곡선기하학, 이에 대하여 다소 수정된 형식으로서의 리만 기하학을 타원기하학이라 하였고, 이들 두 새로운 기하학에 대하여 유클리드기하학, 즉 정확하게는 닮음변환의 기하학은 그 중간적 존재이므로 이것을 포물선기하학이라 하였다. 유클리드기하학에서는 삼각형의 내각의 합은 이 되나 쌍곡선기하학에서는 그보다 작게 되며, 타원기하학에서는 그보다 커진다. 또 비유클리드 기하학의 대상이 되는 공간을 비유클리드 공간이라 하며, 이들 세 기하학은 모두 리만 기하학에 포함된다. 비유클리드 기하학이라는 명칭은 가우스가 처음으로 사용하였는데, 그 엄밀한 정의는 명확하지 않다. 이 비유클리드의 탄생은 실재하는 면을 추상화하여 여러 기하학이 만들어졌다는 사실이 알려지게 되어, 그 때까지의 수학에 대한 견해가 근본적으로 고쳐지게 되었다. 이런 뜻에서 19세기 수학사상 가장 중요한 사건의 하나로 볼 수 있다. 비유클리드 기하학의 발견은 공리를 자명한 명제로만 여겨왔던 재래식 사고방식에 혁명적인 변혁을 가져오게 하였고, 또 모델(이론을 말하는데 때로는 그 이론의 전제가 되는 가설)에 의하여 추상적 사상을 구체화시킨다는 사고방식은 David Hilbert를 거쳐 Kurt Gdel 이후의 수학기초론 등에도 커다란 영향을 미쳤다. 사상사에 있어서도 진화론이나 상대성이론의 탄생과도 비견되는 것으로서 물리적 세계에 대한 인간의 생각을 급변시켰다. 그럼 이제 유클리드기하학과 비유클리드 기하학의 차이점에 대해서 살펴보고, 세부적인 발달과정에 대해 알아보자.
2. 유클리드의 평행공준
⑴ 평행 : 두 직선이 교차하지 않음. 즉 그들이 공유점도 갖지 않으면 두 직선
⑵ 평행공준 : 한 직선과 직선 위에 있지 않은 한 점을 주어졌을 때 그 점을 지나서 직선과 평행인 직선은 한 개만 존재한다.
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