기호와 피보나치수열
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기호의 등장과 배경
1. +, - : 계산의 아버지라는 별명을 가진 요한 비드만이 1489년 과부족의 의미로 사용하기 시작한 것이 차츰 덧셈과 뺄셈의 기호로써 사용하게 되었다고 한다. 더하기 기호 +는 덧셈을 표시하는 라틴어 et를 속기하는 과정에서 나온 것이며 빼기 기호 -는 뺄셈을 표시하는 라틴어 m을 속기하는 과정에서 나왔다고 한다. 그러나 비드만의 책에서 이 두 기호는 단순히 과잉과 부족을 뜻했지만 이후 네덜란드의 수학자 호이케에 의해 현재의 덧셈과 뺄셈의 기호로 사용되었다.
2. = : 언제 누가 가장 먼저 사용했는지는 확실하지 않으나 그 원조를 흔히 영국의 수학자 레코드(Robert Recorde;1510-1558)로 보고 있다. 레코드는 1557년 서로 같음을 나타내기 위해 현재의 등호보다 가로로 더 긴 수평의 직선을 사용했는데 이것을 연원으로 보는 것이다. 그러나 볼로냐 지방의 대학교 도서관에 보관된 필사본에서도 이와 비슷한 기호를 볼 수 있기 때문에 다른 한편의 수학자들은 레코드와 무관하게 볼로냐 지방에서 처음 사용했다고 보기도 한다. 등호에서 파생되어 나온 서로 같지 않음을 나타내는 기호 ≠와 서로 비슷함을 나타내는 기호 ≒는 언제부터 쓰였는지는 분명하지 않다. 다만 기호 ≒는 오스트리아의 스테인하우저(Anton Steinhauser;19세기경)가 가장 먼저 사용했을 것이라고 추정되어지고 있다.
3. ×, ÷ : 곱셈기호 ×는 영국의 수학자 오트렛(William Oughtred;1574∼1660)의책 「수학의 열쇠」(Clavis Mathematice; 1631)에서 그 최초의 형태를 찾아볼 수 있다. 그러나 그가 사용한 기호는 당시의 덧셈·뺄셈 기호에 비해 현저히 작았다고 한다. 따라서 현재의 곱셈기호의 형태는 이후 르장드르(Adrien-Marie Legendre;1752-1833)가 1794년에 사용한 기호와 가장 가깝다고 할 수 있다.
나눗셈 기호 ÷는 스위스의 수학자 란(Johann Heinrich Rahn)이 1659년 취리히에서 발행한 대수학책(Teutche Algebra)에서 ÷기호를 처음 사용했다. 원래는 비를 나타내는 기호 : 에서 유래된 것이라고 생각된다. 한 가지 주장에 따르면 이 기호에서 가로막대 -, 아래 위의 두 · 는 사실상 수를 나타낸다는 것이다. 왈리스(John Wallis;1616-1703)를 비롯한 몇몇의 잉글랜드 수학자들이 나누기 기호로 ÷를 채택한 이후, 이 기호는 영국 전체와 미국에서 정식으로 채택되어 현재에 이르고 있다.
4. >, < : 부등호는 영국의 수학자이자 천문학자인 해리엇이 자신의 사후인 1631년 출판된 책에서 처음으로 사용하였다. 그러나 기호 >를 ~보다 더 크다, 기호 < 을 ~보다 더 작다로 정의 한 최초의 사람은 프렌드(John Frend;18세기경)로 알려졌다.
5. √ : 빈 대학의 유명 수학자 슈라이버의 제자 루돌프가 1525년 발행한 그의 대수학책 <미지수, Die Coss>에서 근호의 기호를 소개하였다. 근호는 처음에 √로 표시했는데 이는 근을 나타내는 radix 혹은 root의 머릿글자인 r과 닮은 것으로 보아 그 모양을 본뜬 것으로 보인다. 이를 이후 프랑스의 수학자 데카르트가 개량하여 현재의 형태로 처음 사용하였다.
6. x : 1637년, 프랑스의 수학자 데카르트(Descartes,R.;1596～1650)가 처음 사용하였다. x를 사용한 이유에 대해서는 당시 프랑스 인쇄소에 x활자가 여분으로 많았기 때문이라는 주장과 중세 시대에 미지수를 나타내던 아랍어 shei의 음역(音譯)인 xei의 첫 글자이기 때문이라는 주장이 있다.
피보나치(Leonardo Fibonacci; 1170?-1250?)
수학자 피보나치는 이탈리아 피사에서 상업관련 종사자의 아들로 태어났다. 이후 그의 아버지가 관세 관리인으로 아프리카 북부 연안의 보기에서 근무하게 됨에 따라 피보나치도 그곳으로 가 수학했다. 일찍부터 산술에 흥미를 느낀 피보나치는 이집트, 시칠리아, 그리스, 시리아 등지를 여행하며 아라비아의 수학을 접하게 된다. 이 과정에서 인도와 아라비아의 수학의 우수성을 몸소 체험한 피보나치는 고향에 돌아와 여행의 경험을 바탕으로 하여 <산반서, Liber abaci>를 출간한다. 이 책에는 그 유명한 피보나치 수열에 대한 문제가 실려있다.
산반서와 피보나치 수열
산반서는 인도와 아라비아의 숫자를 유럽에 소개하는데 일조했으며 이러한 새 숫자를 읽고 쓰는 방법, 정수와 분수를 계산하는 방법, 제곱근과 세제곱근을 구하는 방법, 임시위치법과 대수적 과정에 의한 1차 및 2차 방정식의 해법 등을 소개하고 있다. 이 <산반서>에는 많은 문제가 실려있는데 이 문제들은 이후에 많은 수학자들이 탐구하는 대상이 되어 수학의 발전에 큰 밑바탕이 되었다고 볼 수 있다. 이 중에는 하나의 흥미로운 문제가 있다. 바로 피보나치 수열에 관한 문제이다. 피보나치 수열은 간단히 살펴보자면 1, 1, 2, 3, 5, …, x, y, x+y로 이루어진 수열이다. 이 수열의 특징은 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2와 같이 세 번째 위치 이상의 수는 바로 앞에 놓인 두 수의 합이라는 점이다.
피보나치 수열은 우리가 간과할 수 없는 또 하나의 중요한 특징을 지니고 있다. 바로 이 수열이 황금비와 관련되어 있다는 것이다. 피보나치 수열에서 뒤의 수를 앞의 수로 나누면 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666, 8/5=1.6, 13/8=1.625와 같이 점점 황금비율인 1.618에 근접하게 된다. 이처럼 오묘하게 황금비율과 연관되는 피보나치 수열은 우리 생활 곳곳에서 찾아볼 수 있다. 두가지 예를 들면 대다수의 꽃잎은 1장, 2장, 3장, 5장, 8장, 13장, 21장, 34장, 55장, 89장 안에 포함된다. 또한 나선을 그리며 배치되어있는 해바라기 꽃씨는 보는 방향에 따라 시계반향과 반시계 반향으로 각각 세어보면 8개와 13개의 선이 나타난다.
연습문제
<산반서>에 나오는 다음 문제가 피보나치 수열을 초래한다.
8.2 토끼 한 쌍이 매달 한 쌍의 토끼를 낳고, 두 번째 달에는 다시 그 두 쌍이 각각 한 쌍의 토끼를 낳고 그런 식으로 계속해 갈 때 일 년이 되면 한 쌍의 토기로부터 몇 쌍의 토끼가 생기는가?
-1년 동안 매달 태어나는 토끼 쌍의 수는 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144이고 합계는 376쌍 이다.
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