동역학 제어 실험
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- 목차
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1. 임펄스 테스트
(a) 주어진 데이터는 응답의 절대값과 위상이다. x축을 주파수, y축을 축의 길이로 하고, z축은 각각 응답의 크기, 위상, 실수부, 허수부 값을 가지는 그래프를 1, 3, 5, 7번 노드에 대해 그려보고 고유 진동수를 찾으시오. 이 때 어느 그래프를 사용하는 것이 고유 진동수를 찾는데 유리하며, 그 이유는 무엇인가
(b) 위의 그림에 도시된 축 시스템의 경우 이론적으로 데이터가 Maxwell의 상반정리를 만족하게 된다. 즉, 1의 노드에 가속도계를 장착하고 3번에서 임팩트 해머를 때리는 것이나 3번에 가속도계를 장착하고 1번에서 임팩트 해머를 때리는 것의 주파수 응답은 동일하다. 그러나 실험과정에서 이런 상반 정리가 잘 적용되지 않는다. 이 이유를 설명하시오.
(c) 시스템을 수학적 해석을 위해 모델링을 했다면 그 모델링이 제대로 된 것인지 검증하는 것이 중요하다. 일반적으로 시스템의 해석방법에 대해서 불변 값인 고유 진동수를 통한 검증을 시행하게 된다. 그 중에서 가장 일반적은 방법이 바로 임펄스 테스트이다. 임펄스 테스트의 장․단점에 대해 조사하고 이 이외에 다른 어떤 검증 방법이 있는지 설명하시오.
(d) 임펄스 테스트를 통해 얻은 신호는 가속도계를 이용하여 측정할 수 있다. 이렇게 측정된 데이터를 적분하여 속도 및 변위 데이터를 얻을 수 있다. 그러나 이렇게 구한 데이터는 시간 도메인의 데이터이므로 고유값을 구하기 위해서는 주파수 도메인으로 변형시킬 필요가 있다. 이는 푸리에 급수 혹은 변환을 통해 구할 수 있다. 연속적인 함수의 형태로 얻는 응답의 경우 일반적인 식에 대입하여 구할 수 있지만 이산적으로 얻어진 데이터의 경우 이산 푸리에 변환이 필요하다. 다음의 이산 푸리에 식을 이용하여 응답 스펙트럼의 크기 및 위상을 구해보라.
2. 제프콧 로터 시스템
(a) 가장 간단한 가정은 양 옆에 지지되는 베어링 성분에서 강성은 무한대이고 댐핑은 존재하지 않는 경우이다. 질량은 가운데의 디스크에 집중되어 있으며 디스크는 회전의 자유도가 구속되어 있다. 사용되는 변수는 다음과 같다.
(b) (a)의 경우에는 디스크의 병진(translation) 운동만이 가능했다. 베어링의 강성과 댐핑이 유한한 경우에는 베어링 부분에서의 병진 운동도 고려해야 한다. 디스크의 회전의 자유도가 구속되어 있다는 가정에서 베어링의 강성과 댐핑이 각각라고 할 때 (a)의 변수들을 참고해서 운동 방정식을 구하시오.
(c) 디스크의 회전의 자유도가 있는 보다 실제에 가까운 모델의 경우 <그림 2>와 함께 [그림 33]을 참고한다.
(d) 축 강성과 베어링 강성 비의 변화에 따른 고유 진동수의 변화를 논하고 그래프로 그려보시오.
(e) e=15, =3, =6, m=10, t=1 일 때, 회전속도(Ω)에 따른 기하학 중심과 무게 중심의 응답을 그래프로 그려보아라. 이 때 고유진동수가 두 군데로 갈라지는 이유와 두 고유 진동수 사이에서 백워드 훨이 나옴을 확인하라.
(f) 축의 회전이 첫 번째 고유 진동수보다 작을 범위일 때 축의 가진 방향(불균형 질량의 위치)과 같은 방향으로 축의 응답 반응이 나타난다. 즉 불균형 질량이 위쪽에 놓여있으면 가진이 위쪽으로 작용할 때 축은 위쪽으로 휘어있다. 그리고 두 번째 고유 진동수보다 큰 범위에서는 축의 가진 방향과 반대 방향으로 축의 응답이 나타나게 된다. 그리고 두 고유 진동수 사이에서 축이 회전할 때는 백워드 훨이 나타나게 되는데 이 같은 현상의 이유를 수식을 써서 설명하라.(단, 댐핑은 없다고 가정한다.)
3. 자기베어링 로터 시스템
(a) m=5kg, , , a=0.5m, b=-0.2m, k=200N/mm 라고 할 때 M, D, K 매트릭스를 만들고, state space에서의 방정식 형태로 바꾸어 A, B, C 매트릭스를 구하시오.
(b) 고유 진동수와 고유 벡터를 구하고 고유 벡터로 이 시스템의 모드를 알아볼 수 있는지 논의해보고, 제시된 모델의 한계를 기술하시오.
(c) 강성의 변화에 따른 고유 진동수 그래프를 그리고 일반적인 회전체 시스템과 달리 진동수가 강성 증가에 따라서 계속 증가하는 이유를 서술하시오.
(d) 회전속도 Ω를 바꿔 가면서 A 매트릭스의 고유진동수를 구하고, 이를 위험속도선도(campbell Diagram)로 나타내시오. (x축 : 회전속도, y축 : 고유 진동수) 또, 이 고유 진동수 변화의 물리적 의미를 자세히 설명하시오. 또, 여기서 위험속도를 찾는 방법을 기술하시오.
(e) 스펙트럼 해석은 회전체 시스템을 진단하기 위한 가장 보편적은 신호처리 방법이다. 주파수 성분과 외에 상응하는 크기와 위상이 기계의 오류에 따라 변하기 때문이다. 기존의 스펙트럼 해석은 주파수 성분의 표현을 체계적으로 할 수 있으나, 로터의 진동을 실수의 양으로 표한하기 때문에 주파수 스펙트럼은 방향성-전방향 회전 또는 후방향 회전-과 같은 중요한 궤적 정보를 잃는다. 반면 복소 신호의 방향성 스펙트럼 해석은 방향성에 대한 정보, 평면운동에 대한 형상 정보를 가지고 있어 회전체를 진단하는 강력한 해석법이다. 이 같은 방향성 스펙트럼에 대해 조사하시오.
4. Magnetic Bearing
(a) 자기베어링은 다음과 같은 스펙을 가졌다. 이때 구동력 F는 어떻게 선형화 되는가?
(b) 3번 문제의 모델 중 f에 (a)에서 구한 선형화된 식을 넣고 동역학적 모델을 만들어 고유 진동수를 구하여 시스템이 불안정함을 보이시오.
5. 동기 및 비동기 가진
(a) 동기 가진과 비동기 가진이 일어나는 이유에 대해 간단하게 설명하고 이와 같은 예를 서술하시오.
(b) 학부실험 내용 중 자기베어링을 이용해 축에 10Hz(600rpm과 동등)로 조화 가진을 넣고 축을 300, 1200, 1800, 2400rpm으로 회전시키면서 축의 거동을 살펴보았다. 이 때 축의 궤적을 MATLAB을 통해 구현해보시오. 여기서 중요한 요소는 주파수이며 크기는 큰 영향이 없다.
(c) 비동기 가진의 주파수가 600rpm이고 축의 회전 속도가 600rpm일 때 맥놀이(beat) 현상이 일어나게 된다. 이를 시간 축에서 구현해 보시오.
6. 참고도서
- 본문내용
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여기에서 변위는 x로 주어지고 입력 제어전류는 , 진공에서의 투자율은 , 코일 턴수는 , 액추에이터의 작용면의 넓이는 A, 자기 부상시의 통상의 틈새는 , 편향 전류는 로 주어져 있다.
주어진 정보를 [표 15]에 다시 정리 하였다.
자기베어링의 코일 턴수 : Nc -200 turn
자기베어링의 자극 면적 : A -
자기 부상시의 통상 틈새 : g0 - 3.0mm
자기베어링의 편향 전류 : ib - 75.0A
진공의 투자율 : - 4*10^(-7) H/m
[표 15] 4번 문제 제한조건
이제 문제를 풀어보도록 하자.
먼저, 1자유도 자기 베어링 시스템의 운동방정식은 다음과 같다.
[식 53] 1자유도 자기 베어링 시스템의 운동방정식
이 1자유도계 시스템을 양쪽 방향에서 전자석이 이끌고 있다고 하면 전자석에 의한 전자기력은 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.
[식 54] 전자기력에 의한 힘
위의 식의 비선형식이지만 인 점에서 선형적으로 근사 할 수 있다.
이므로 second order 이상의 term들은 무시하고 first order로 선형화 시킬 수 있다. 따라서 [식 55]와 같은 모형이 되고 최종적으로 [식 56]이 된다.
[식 55] 전자기력의 힘 선형화
[식 56] [식 55]의 정리
[식 56]을 통해 와 문제에 주어진 값을 대입하여 와 값을 구할 수 있다. 따라서 최종적으로 선형화된 구동력 F는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[식 57] 최종 도출식
(b) 3번 문제의 모델 중 f에 (a)에서 구한 선형화된 식을 넣고 동역학적 모델을 만들어 고유 진동수를 구하여 시스템이 불안정함을 보이시오.
(단, 자이로 효과는 무시한다. Hint; 자이로 효과를 무시하면 x축의 성분들과 y축의 성분들이 각각 독립적으로 계산된다. 그러므로 x나 y 두 성분 중 한 가지 성분만 해석해도 무리가 없다.)
3번 문제에서 모델링한 state space equation을 통하여 얻은 matrix의 eigenvalue값은 물리방정식의 고유진동수와 동일하다. 따라서 3.(a)에서 구한 equation에 선형화된 f를 넣으면 자기베어링의 물리적 특성을 분석할 수 있다.
- 참고문헌
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1. Daniel J. Inman, 이건복 임병덕 정태건 황재혁 공역, 최신기계진동학, 2nd ed, Pearson, P103
2. http://maelab.snu.ac.kr/
3. 기계진동학, 이장무, 문운당
4. K. Ogata, Modern control engineering, 4th ed., Prentice Hall
5. 3-(e)에서 참조한 pdf 파일은 첨부파일에 따로 첨부하였습니다.
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