수학교육론 레포트

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2006.06.12 / 2019.12.24
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목차: 목차
1. 수 개념의 제 측면
2. Piaget 이론과 수학교육
3. 정수의 본질과 그 지도
1)계산수로서의 음수의 형식적 본질과 실제적 의미
2) 정수 개념과 그 연산의 지도
4. 유리수·무리수 개념과 그 지도
1) 유리수와 실수의 개념과 그 지도
2)학교수학에서 무리수 지도
5. 형식불역의 원리와 학교수학

본문내용: 5. 형식불역의 원리와 학교수학
형식불역의 원리는 1830년대 Peacock가 대수학에 논리체계(공리론)을 갖추려 한 데서 시작되었다. 산술대수의 기호대수로의 확장을 형식불역의 원리(Principle of the permanence of equivalent forms)라 부르기 시작하였다. 이후 형식불역의 원리는 강력한 개념으로서 복소수체계를 발전시켰으며 일반지수로의 확장 등 수학 전반의 발전에 있어서 중요한 역할을 하게 된다. 형식불역의 원리는 수의 확장 양식으로서의 의미가 가장 크다고 할 수 있다. 직관적인 분수를 먼저 배운 후 알고리즘적 분수를 배우게 되는데 그 이행 과정에서 교육적인 어려움이 야기된다. 알고리즘적 분수는 정수에서 나눗셈과 일차방정식의 풀이를 자유롭게 하기 위한 필요성 때문에 발명된 것이다. 계산수란 측면에서는 2/3은 3을 곱해 2가 되는 기호일 뿐이다. 기존의 수 체계가 갖고 있던 연산 법칙을 그대로 유지하면서 2/3은 3x=2, -3은 x+3=0 는 x2=2, ap/q는 xq=ap, i는 x2=-1을 만족시키는 한 해로 도입되어 수가 확장된다. 곧, 이들 수는 기존의 산술 체계에서 각 방정식을 만족하는 것으로 간주된 새로운 형식적인 대상인 x로 도입하는 것이다. 이와 같이, 기존의 수 체계에서 인정된 성질이 유지되도록 수 체계를 확장하고 연산과 관계를 확장하듯이, 기본적인 성질이 유지되도록 대수적인 구조를 확장하는 것을 Freudenthal은 대수적 원리, 또는 형식불역의 원리라고 부른 것이다. 이는 학교수학에서 이차방정식의 풀이를 할 때, 미지인 것을 x라 놓고 기존의 수의 연산 법칙을 만족하는 것처럼 생각하고 계산하여 해를 구하는 기본 원리의 바탕이 된다.
대수적 사고의 핵심은 조작 규칙이다. 따라서 대수체계를 확장할 때는 그 형식이 유지되도록 해야 한다. 대수적 원리에 따라 지수를 자연수 지수에서 정수지수로, 유리수 지수로의 확장하는 전개 방법에서도 이는 잘 드러난다. 하지만 지수를 유리수로 확장할 때 우리는 밑을 양수로 한정한다. 만일 지수가 유리수인 경우에 밑이 음수인 경우를 용인하면 모순이 발생하게 된다. 지수 n이 자연수일 때에는 a가 음수라도 an은 정의된다. 그렇지 않으면 다항식론이 빈약하게 된다. 그리고 지수 n이 정수일 경우에도 a가 음수라도 상관없다. 하지만 지수 r이 정수가 아닌 유리수일 때에는 a가 음수인 경우에는 ar은 r의 값에 따라 실수값이 존재할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있으며 일반적으로 지수법칙 (am)n=amn이 성립하지 않는 것이다. 이제 학교수학에서 형식불역의 원리에 따른 수 개념의 확장을 살펴보자. 먼저 유리수는 정수에서 나눗셈 연산에 대하여 닫혀있게 하기 위한 산물이다. -(2/3)처럼 직관적 모델을 갖는 직관적인 분수의 경우에는 초등수학에서 의미 있는 지도가 가능하다. 하지만 -2/+3과 같이 정수의 나눗셈의 결과이거나 방정식의 해의 경우는 그렇지 않다. 따라서 중학교에서 유리수 지도는 대수적 의미에 따라 다루는 과정을 밟는 것이 적절할 것이다. 간단히 말하면 ‘-(2/3)은 음수다 -2/+3은 정수의 몫으로 보고, 부호규칙에 따라 -(2/3)와 같다. 유리수의 계산은 부호규칙과 직관적인 분수의 계산법으로 환원된다.’와 같은 방법이다. 또한 정수의 도입은 자연수로부터 뺄셈 연산에 닫혀있게 하기 위한 대수적 확장이다. 현대대수학에서는 정수를 자연수의 순서쌍의 동치류로 정의하지만 Freudenthal에 의하면 정수는 방정식의 근으로부터의 대수적 확장이다. 여기에 의하면 -3은 0과 자연수로부터 x+3=0을 만족하는 대상으로 정의하게 된다. 형식불역의 원리에 따라 이러한 음수의 정의로부터 그 계산방법을 이끌어 낼 수 있다. 음수의 도입을 살펴보자. 음수는 량의 표현과 측정 및 뺄셈 계산을 자유롭게 하기 위한 실제적 필요성과 대수에서 방정식의 풀이 방법에 일반성을 부여하기 위한 이론적 필요성에 의해 발명되었다. 음수의 연산은 자연수의 연산의 성질이 유지되면서 확장되도록 정의되었다. 그런데 17C Decartes에 의해 해석기하학이 탄생하면서 음수와 연산은 기하에서 필수불가결한 것임이 분명해진다. 음수는 평면전체를 좌표로 기술하고 평면도형을 한 방정식으로 기술하는데에 반드시 필요한 것이다. 예를 들어, 뺄셈 x→x-3은 음수가 도입되지 않으면 그 그래프는 선분에 불과하며 음수의 도입으로 직선을 나타나게 되며, 곱셈 x→2x는 x의 범위가 0과 양수인 경우에는 반직선, 음수로 확장되면 직선을 나타낸다. 이처럼 대수적 풀이 방법의 일반적 타당성에 대한 요구가 Decartes 이후 기하학적 관계의 기술에 대한 일반적 타당성에 대한 요구에 의해서 강화되었다. Freudenthal은 이런 수학적 사고 발달에 내면한 원리를 기하학적-대수학적 형식불역의 원리라 일컫는다. 또한 무리수는 유리수의 해석적 확장으로서 도입되었다. 와 같은 통약가능하지 않은 량은 유리수 범위에서 측정 불가능하므로 무리수는 이렇게 무한히 지속되는 소수와 같은 극한과정(limiting process)의 문제를 해결하기 위하여 도입되었다. 따라서 유리수 체계에서 실수체계로의 확장은 극한과정에 닫혀있게 하기 위한 해석적 확장으로 보아도 될 것이다. 이로서 실수는 모든 량을 측정할 수 있는 완비된 체계로서 모습을 갖추게 된다. 복소수의 도입 또한 일반적인 이차방정식의 풀이(근의 공식)는 대수적 연산에 의해 복소수 범위에서 완전히 풀리며 이러한 대수적 해법의 완성으로서의 복소수로의 확장은 형식불역의 원리로 설명할 수 있다.

자료평가

자료가 너무 내용이 적다.
sadab***
(2011.05.31 14:16:18)

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