[수학과 졸업논문] 고유값과 고유벡터와 그 응용에 관한 고찰

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목차

1. 들어가는 말 1-1. 고유값과 고유벡터의 어원. 1-2. Characteristic polynomial의 발견. 1-3. Eigenvalue 와 Eigenvector의 다른학문으로의 응용. 2. Eigenvalue 와 Eigenvector 란 무엇인가? 2-1. Eigenvalue and Eigenvector. 2-2. Eigenvalue 와 Eigenvector 구하기 2-3. Eigenvalue 와 Eigenvector 의 성질. 2-4. Eigenspace. 2-5. Characteristic polynomial 2-6. Diagonalizable 2-7. Geometric multiplicity 2-8. Dominant eigenvalue 2-9. Positive definite 2-10. Singular value decomposition 3. Eigenvalue 를 해석하는 법. 3-1. 고유치 해석의 일반적인 방법 3-2. 고유치 해석 및 고려 사항 3-3. Lanczos. 3-4. Lanczos 해법에서의 고유치 해의 문제점, 개선 기법 3-5. Lanczos 방법의 특징 4. Eigenvalue 와 Eigenvector의 응용. 4-1. Dynamical Systems and Spotted Owls 4-2. 얼굴인식(Facial Recognition) 4-3. 계층분석과정(Analytic-Hierarchy-Process) 5. 참고문헌.

본문내용

1-2. Characteristic polynomial의 발견. eigenvalue를 구하는 방정식인 characteristic polynomial은 Cayley가 발견하였다. Cayley는 또한 ``2차 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족한다''는 것을 증명했다. 그는 자신 이 3차 정사각행렬에 관한 연구결과도 확인했다고 주장했다. ``임의의 행렬이 자신의 특성방정식 을 만족한다''는 정리를 일컬어 ``Cayley-Hamilton 정리''라고 하는 이유는 실제로 Hamilton이 4 원수(Quoternion) 연구를 하던 중 ``4차 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족한다''는케일리 것을 증명했기 때문이다. 1-3. Eigenvalue 와 Eigenvector의 다른학문으로의 응용. eigenvalue연구의 발전은 선형대수학이 발전과 함께 했다고 볼 수 있다. 발견 이후 현상의 수학적인 해석 그 중에서도 연립방정식이 이용되는 곳에는 행렬의 개념이 도입되기 마련이고, eigenvector과 eigenvalue가 이용되기 때문이다. 그렇다면 다른 학문에서 eigenvalue가 어떠한 의미를 지니고 이용되는지 알아보도록 하자. 1-3-1) 물리학 물리적으로 볼 때, 어떤 값을 측정한다는 것은 측정대상의 현재 상태에 연산자를 작용시켜서 그 eigenvalue를 구하는 것이다. 예를 들어서 어떤 물체의 운동량을 측정한다면, 이것은 수학적으로 볼 때 그 물체의 state를 나타내는 함수(벡터로 이해하시면 됩니다)에 운동량 연산자(행렬로 이해하시면 됩니다)를 적용시키는 것이다. 이 때 물체의 state가 연산자의 eigenstate(eigenvector)였다면, 그 때의 eigenvalue가 그 물체의 운동량으로 측정이 된다. 즉, 우리가 알고 있는 값은 모두 eigenvalue인 것이다.